1818年，哈密頓與美國“計算神童”科爾本相見后對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深厚的興趣。之后的兩年內(nèi)，哈密頓閱讀了牛頓的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，便對天文學(xué)產(chǎn)生強烈的興趣，常用自己的望遠鏡來觀測天體。他還閱讀拉普拉斯的著作《天體力學(xué)》，并于1822年指出該書中的一個錯誤。同年，他開始進行曲線和曲面性質(zhì)方面的系列研究，并將相關(guān)理論應(yīng)用于幾何光學(xué)。他的研究報告遞交至愛爾蘭科學(xué)院后，布林克萊院士評論說：“這位年輕人是現(xiàn)在這個年齡階段（17歲）的第一數(shù)學(xué)家?！?/span>

1823年7月7日，哈密頓以入學(xué)成績第一名的優(yōu)異成績進入荷蘭著名的三一學(xué)院，上學(xué)期間因成績突出而多次獲得學(xué)院的古典文學(xué)和科學(xué)的最高榮譽獎。1823年-1824年期間，他發(fā)表了多篇關(guān)于幾何學(xué)和光學(xué)的學(xué)術(shù)論文，其中在1924年12月送交愛爾蘭皇家科學(xué)院會議關(guān)于焦散曲線的論文，引起了科學(xué)界的關(guān)注。

1827年6月10日，年僅22歲的哈密頓被任命為敦辛克天文臺的皇家天文研究員和三一學(xué)院的天文學(xué)教授。1832，27歲的他便已經(jīng)成為一名愛爾蘭皇家科學(xué)院院士。1843年，他正式提出了四元數(shù)，這是代數(shù)學(xué)中一項非常重要的成果。1835年，基于哈密頓的學(xué)術(shù)成就和雄厚聲望，他當選都柏林召開的不列顛科學(xué)進步協(xié)會的主席，同年，又被皇家授予了爵士頭銜。1836年，因他在光學(xué)上的巨大成就而被皇家學(xué)會授予皇家獎?wù)隆?837年至1845年期間，哈密頓被任命為愛爾蘭皇家科學(xué)院院長。1863年，哈密頓被任命為新成立的美國科學(xué)院的14位外國院士之一。

1865年9月2日，哈密頓卒于愛爾蘭都柏林，享年60歲。在哈密頓的一生中，他工作勤奮，思想活躍。他的研究工作涉及廣泛的領(lǐng)域，成就最大的包括光學(xué)、力學(xué)和四元數(shù)等領(lǐng)域。他研究的光學(xué)是幾何光學(xué)，具有數(shù)學(xué)性質(zhì)；力學(xué)則是列出動力學(xué)方程及求解；因此，哈密頓主要是一名數(shù)學(xué)家。但是，他在科學(xué)史中影響最大的卻是對力學(xué)的貢獻，哈密頓量是現(xiàn)代物理學(xué)中最重要的算符之一。